拓扑学入门1——拓扑空间

上一篇文章里通过熟悉的欧氏空间，对开集、连续映射等概念有了初步的掌握，从本章开始将正式进入拓扑学的介绍。

这一章节将从拓扑空间的定义说起。拓扑空间仅仅是针对一般的点集赋予了上面的拓扑结构所产生的，今后我们将会看到，它其实表示的是某种图形或空间的概念。

另外，本章会把欧氏空间中距离的性质抽象化，给出距离空间（也叫度量空间）的定义，并叙述如何由距离空间得到拓扑空间。

给定集合 和它的一个子集族 ，如果 满足下列3个条件 ，则把 叫作 上的拓扑， 中的每个集合叫作 的开集，并把 叫作拓扑空间。

• ： 。
• ：如果 ，那么 。
• ：设 为指标集，如果集族 ，那么 。

拓扑空间虽然用符号 来表示，但通常情况下 上的拓扑 是固定的或默认的，此时也可以简单地说“拓扑空间 ”。

条件 表明空集 和全集 都是 的开集，条件 表明 的两个开集之交也是开集，条件 表明 的任意个开集之并也是开集。注意这3个条件对于上一章所介绍的欧氏空间的开集都是成立的。

条件 有时也被称为开集公理。

另外， 也可以换成以下条件。

• ：如果 ，那么 。

实际上在 中取 就得到了 ，反之，从 出发利用数学归纳法也能够推出 。在以后的文章中，根据不同场合这两个条件都会使用。

接着定义拓扑空间的闭集。

拓扑空间 的子集 称为闭集，当且仅当它的补集 为开集。

在这里，闭集是利用开集的补集（也叫余集）来定义的。在后面要介绍的距离空间中，将会发现闭集就是“对极限运算封闭的集合”，故得名“闭集”。由开集公理 ，根据德摩根定律可以得到闭集的性质。

对于拓扑空间 ，把它上面的闭集族记作 ，则以下3条性质成立。

• ： 。
• ：如果 ，那么 。
• ：设 为指标集，如果集族 ，那么 。

另外， 也可以换成以下条件。

• ：如果 ，那么 。

在条件 中，如果指标集 ，那么 将表示“零个集合之交”。

需要注意的是，根据交集的定义， 。考虑箭头 ，右边的条件可以说成 。由于 为假，蕴涵式 始终为真，即右边的条件成立。从而对于任意的 ，无论它是什么， 都成立。特别地，取 ，那就有 ，这就是著名的罗素悖论。

实际上这已经超出了集合论的研究范围，所以一般情况下不考虑零个集合之交。但是，因为现在在讨论拓扑空间 ，所以默认 指的是 中的元素。 都成立 ，所以有 。而右边又是 的子集，所以 。

基于上述讨论，我们规定条件 中当 时， 。今后再次遇到零个集合之交时，也都按照类似的讨论来处理。

除了用开集公理来定义拓扑空间之外，利用闭集族的概念也可以定义拓扑空间。在此简单说明一下。

给定集合 和它的一个子集族 ，并设 满足条件 。此时，如果取 ，那么 就满足条件 ，从而得到拓扑空间 。并且在此拓扑空间中， 恰好就是 的闭集族。

也就是说，给定集合 和某个满足 的子集族 ，把 中的集合叫作闭集，并定义闭集的补集为开集，通过这种方式也能定义拓扑空间。今后还会接触到除了用开集或闭集之外，定义拓扑空间的各种各样的方法。

设 为任意集合，记 为所有子集构成的集族，则 满足条件 。此时，把 叫作 上的离散拓扑，而 叫作离散空间。换句话说，离散空间指的是所有的子集都是开集的拓扑空间。当然，也可以说所有的子集都是闭集的拓扑空间。

设 为任意集合，记 ，则 满足条件 。此时，把 叫作 上的平凡拓扑（或紧密拓扑、密着拓扑），而 叫作平凡空间（或紧密空间、密着空间）。

设 为任意集合，定义子集族 ，则容易验证 满足条件 。如同注意1.5所说那样，取 ，则 成为拓扑空间。

具体来说，取 ，称为有限补拓扑（或余有限拓扑），则 就是 的闭集族。显然， 为无限点集时， 将异于 。

欧氏空间中已经有了开集的定义（定义0.6）。不妨把欧氏空间的所有开集族记作 ，命题0.8告诉我们 满足条件 ，于是 成为拓扑空间。今后如果没有特别声明，把 视为拓扑空间时，上面的拓扑默认是 （叫作通常拓扑或标准拓扑）。

特别地，取 ，将得到数轴 也是拓扑空间。 ，它的范数 就是普通的绝对值 ，而两点 之间的距离 就是它们差的绝对值 。因此，开球 就表示开区间 ，从而数轴 上的开集 就是指 ，使得 的集合。

根据定义容易验证开区间 （特别地， 也包括在内）是开集。现在考虑闭区间 ，它的补集 是两个开集之并，所以闭区间是闭集。另外，形如 或 的区间也是闭集。

设集合 上定义了两个拓扑 （即分别指定两个集族 使它们都满足条件 ），如果 ，即 中的开集都是 中的开集，那么就称拓扑 比 粗（或小），或 比 细（或大）。

对于集合 ，根据定义可知离散拓扑 比平凡拓扑 细。实际上， 上定义的任何拓扑（例如上面定义的有限补拓扑 ）都比离散拓扑要粗，而比平凡拓扑要细。

把 中欧几里得距离的性质（命题0.3）抽象化之后，便得到了距离空间的概念。

设 为任意非空集合，如果 ，映射 满足以下3个条件 ，那么 就叫作距离空间。

• 。
• 。
• （三角不等式）。

映射 叫作 上的距离函数（简称距离），在不引起歧义的情况下（即距离 是固定的或默认的情况），距离空间 也可以记作 。显然，如果把 中的欧几里得距离看成距离函数 的话，那么 也是距离空间。

针对三角不等式，移项之后就变成了 ，这也是经常使用的形态。

设距离空间为 是某个非空子集。容易验证，限制映射 满足条件 ，所以 也成为距离空间。以下都将采用这种方式把距离空间的子集视为新的距离空间。

正如利用欧几里得距离定义欧氏空间中的开集，从而把 视为拓扑空间那样（参考定义0.6和例1.9），在一般的距离空间 中，我们也可以利用距离 来定义开集，从而把距离空间视为拓扑空间。具体步骤可以参考欧氏空间的做法，这里只是简单进行介绍和证明。

设 为距离空间，对于 ，分别把集合 和集合 叫作以 为中心， 为半径的开球和闭球。在不引起误解的情况下可以把下标 省略，记作 和 。

设 为距离空间， 。如果 ，使得开球 ，那么称 为 中的开集。

设 为距离空间，对于 ，开球 是 的开集，闭球 是 的闭集。

证明：开球是开集的证明与命题0.7的证明相同，这里省略。证明闭球是闭集，只要证补集是开集即可。任取 ，则 。取 构造开球 ，则只要证 。

设 是任意一点，则 。根据三角不等式，

。

因此 。由 的任意性得 成立，故 是开集。

证毕。

设 为距离空间， 是它的开集族。仿照命题0.8的证明可证 满足条件 ，从而 成为了拓扑空间，其拓扑 称为由距离 诱导（或生成）的拓扑。今后对于距离空间，我们总是按照由距离诱导拓扑的方式将它视为拓扑空间。

反过来，假如一开始给的是拓扑空间 ，通过某种方法在 上定义某个距离 使其成为距离空间 。此时要问，由距离 诱导的拓扑 是否和原来的拓扑 相同呢？答案是不一定。而如果 ，我们就说拓扑空间 可距离化（可度量化）。

设 为拓扑空间，如果存在 上的距离函数 ，使得由距离诱导的拓扑 ，就称 可距离化。

可距离化空间因为有距离的概念，处理问题起来比较方便，所以在拓扑学发展初期，就对拓扑空间可距离化的条件进行了大量研究，目前已有了许多成果。

在此需要注意的是距离空间和可距离化空间概念上的区别。距离空间是指在集合上定义了距离函数，并由距离诱导拓扑之后所得到的拓扑空间。而可距离化空间上定义的仅仅是拓扑，上面可另外定义的距离（虽然存在但是）是不确定的。换句话说，可距离化空间上可以定义不同的距离函数，使它们都诱导出原来的拓扑。下面要举的离散空间的例子就是如此，它虽然可距离化，但上面的距离是不确定的。

虽然离散空间上的距离不确定，但我们还是能比较轻松地定义一个可以诱导出离散拓扑的距离。

设 为离散空间（例1.6），它的拓扑 由所有的子集组成。定义函数 ，容易验证它满足条件 ，所以 是距离空间。其次， ，半径 的开球 ，根据命题1.16，单点集 是由距离诱导的拓扑 下的开集。

设 是任意子集，因为 ，所以 也是 下的开集，于是 ，这就证明了离散空间可距离化。

对于距离空间，它具有许多特殊的性质，以后将专门写一篇文章介绍距离空间的基本拓扑性质。

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