拓扑动力系统
文章作者：佚名 人气：发表时间：2024-04-22 14:36:41
拓扑动力系统 topological dynamic system 又称抽象动力系统，是动力系统的一个组成部分。所谓拓扑动力系统，是指拓扑空间(一般是度量空间)上的动力系统。它通常包含流、离散动力系统、半流及离散半动力系统。主要是从拓扑的观点研究系统的不变集的结构及其轨道的性质。从20世纪70年代以来，由于微分动力系统研究的发展和深入，极大地推动了拓扑动力系统，特别是一维连续映射的研究，并取得了相当丰富和重要的成果。
① 初值条件：φ(x,0)=x；
② φ(x,t)对x，t一并连续；
③ 群的条件：即对任意x∈，任意t1，t2∈I有；
④ φ(x,t)对t可微。
为了更一般地研究问题，可以抛开常微分系统，并假设空间是一般的度量空间R。设φ(x,t)是R×I到R且满足性质①、②、③的单参数连续变换群，则所有这些变换的全体称为拓扑动力系统或抽象动力系统,记作,其中参数t代表时间。点集{φ(x,t),t∈I}称为过点x的轨线或轨道,记作φ(x,I)。仿此,称为正半轨线，为负半轨线。φ(x；为弧段。当t∈I(半群),称为半动力系统或半流；当t∈N（整数加群）,称为离散动力系统或离散流。若φ(x,t)=x，对一切t∈I,则称点x为休止点，若φ(x，t+ω)=φ(x,t)，对一切t∈I，其中ω>0，则称φ(x,t)为周期轨线,满足上述等式的最小正数ω，称为周期轨线的周期。 [1]
G.D.伯克霍夫认为，动力系统理论主要是研究各种轨线的类型及其间的关系。为了研究轨线的分类,必须了解轨线在无穷时(t→±∞)的状态。
极限点集 设：实数列。如果有，则称点y是轨线 φ(x，t)的ω-极限点，Ωx表示φ(x，t)的一切ω－极限点集。若，则称y是φ(x, t)的α－极限点，Ax表示φ(x, t)的一切α－极限点集。
不变集 设给定集合A吇R，若对一切t∈I,φ(A,t)=A，则称A是不变集。Ωx和Ax是闭的不变集。任何一条轨线是不变集，但不一定是闭集。
极小集 集合∑吇R称为极小集,若它是非空、闭的且不变;同时它没有任何真子集也具有这三条性质。显然，Σ中的每一条轨线在Σ上处处稠密。另外，在上所定义的拓扑动力系统,若对轨线φ(x,t)而言,，则φ(x,I)就是一个极小集，但它不是紧致的。而比较有趣的是紧致极小集，如休止点和周期轨线就是紧致极小集。在R上定义的连续动力系统的紧致极小集只能是休止点和周期轨线。但当R≠R时，情形就不同了。
例如，式中θ，φ的周期都为1。这样就在二维环面T上定义了动力系统。当у是有理数时，T上都是周期轨线；而у是无理数时, T上的每条轨线在其上处处稠密，T构成紧致极小集。
又如，前例中,当у是无理数时，令，，式中 (θ，φ)是对θ，φ周期都为1的连续周期函数。对；当,。直观地说，这就是将前例中的一条过点p且在T上处处稠密的轨线用奇点p切断。这时T不再是极小集，而奇点p是极小集。
伯克霍夫证明，若R是紧致度量空间,则在其上定义的动力系统Rt至少包含一个紧致极小集。
当R是紧致的二维定向流形,在其上定义了C光滑动力系统。若A是Rt的极小集且在R上无处稠密,则A必是休止点或周期轨线。若Ωx中不包含休止点或周期轨线,则Ωx=T=R。但当Rt只是C光滑时,A.当儒瓦在1931年举出过反例。
仿此，有负向或双侧的远离、渐近和泊松稳定轨线，后者分别简称为p或p稳定。休止点和周期轨线是p稳定的。R上的连续动力系统的 p稳定轨线只能是休止点或周期轨线，且其上的 p或p 稳定轨线必是p稳定轨线。而当R≠R时,情形就完全不同了。如前述的T2上被奇点切成两段的轨线, 一条是p稳定的, 另一条是p稳定的,而T上其余的都是p 稳定的轨线。比起远离和渐近轨线来，p 稳定轨线是较复杂和较有兴趣的。从天体力学观点看，p稳定轨线在它的运行过程中,将不断地在其轨线的任一点的任意小邻域内再现。与此现象相反的是下面的情形。
设点x∈R，若存在它的邻域U(x)及时间T>0,使得当t≥T 时,U(x)∩φ(x,t)=═，则称x为游荡点。R上的所有游荡点集W是R上的不变开集。V=R\W是相对于R的非游的点集,它是不变闭集。所有p稳定轨线上的点都是非游荡点。反之，却不然。如前述的被奇点切断的那条轨线，若再用有限个奇点将它切断，则每两个奇点之间的那些轨线就既非p稳定也非p稳定，但其上都是非游荡点。
对于p稳定轨线φ(x,t),根据在其运行过程中，它在轨线上任一点的任意小邻域中再现的时间序列的性质不同，可分成很多类型，除了周期轨线外，最重要的是以下两类。
若对任给ε>0,存在T(ε)>0及I上对T(ε)而言的相对稠密集{τn}，使得对一切t∈I和一切τn，有ρ(φ(x,t),φ(x,t+τn))<ε，则称轨线φ(x，t)是几乎周期轨线（或称概周期轨线）。周期轨线便是几乎周期的，若周期轨线的周期为ω>0，则可取T(ε)=ω,τn=nω。
若上述相对稠密集{τn}是依赖于轨线上的点y=φ(x,t)或者说依赖于t的，即{τn(t)},则称φ(x,t)为回复轨线。回复轨线和几乎周期轨线的闭包的性质是不同的。伯克霍夫证明,紧致极小集内的每条轨线都是回复的;反之，在完备空间内回复轨线的闭包是紧致极小集。而紧致极小集Σ成为几乎周期轨线的闭包的充分必要条件是：Σ是紧致、交换、连通拓扑群。
粗略地说，如果自然界中一些随时间演变的体系，其各种状态x所构成的集合X有与时间t相关的动态规律Фt(x)(-∞<l<+∞)，并且Фt(x)满足一定的简单自然条件，则构成一动力系统。如果Фt(x)对t可微，则得到一常微分方程组。动力系统主要研究抽象系统的整体性质，这些整体性质有些是拓扑式的，也有些是统计式的，后者主要是遍历性。可见，动力系统理论是经典常微分方程理论的一种发展。
对动力系统的研究开始于19世纪末，1881年以后，法国数学家庞加莱开始的常微分方程定性理论的研究就可以看作是动力系统的创始。后来有许多学者，特别是美国数学家G.D.伯克霍夫(1912年以后)从事动力系统一般定性理论的研究，他分别从整体区域和奇点附近两个方面进行研究，证明了三体问题中的几何定理，推进了冯·诺伊曼的工作，得到强形式的遍历性定理。1931年以后，原苏联数学家马尔可夫(小)总结了G.D.伯克霍夫的理论，正式提出动力系统的抽象概念。在以后的若干年里，原苏联学者对动力系统理论的发展做出了贡献，例如，柯尔莫戈罗夫和阿诺尔德等建立了关于哈密顿系统方程组解的稳定性理论。
20世纪60年代以后，动力系统的研究又发生了质的变化。这主要起源于结构稳定性的研究。常微系统结构稳定性的概念首先由原苏联数学家安德罗诺夫和庞特里亚金于1937年就某类平面常微分方程组提出。20多年以后，由于出现了二维结构稳定系统稠密性定理，这方面的研究才引起人们的重视。美国数学家斯梅尔在原苏联动力系统学派的影响下，开始了现代抽象动力系统的研究，他在1966年国际数学家大会上作的《微分动力系统》报告标志着现代微分动力系统这个新兴理论分支的诞生。由于在高维情形下稠密性定理不再成立，这就介入了具有异常复杂性的分形问题，这也许更符合自然界中出现的一些混沌现象。20世纪80年代以来，人们关心的洛伦兹奇异吸引子及费根鲍姆现象复苏了复解析函数迭代理论的研究，一些著名数学家的工作使复解析动力系统理论有了实质性的突破与进展。 [2]
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